Série d'exercices n°1 : Le Dipôle RC et le Condensateur

SÉRIE D’EXERCICES N

◦

1 : LE DIPÔLE RC

THÈME : CHARGE ET DÉCHARGE D’UN CONDENSATEUR

Niveau : 4

ème

Année Baccalauréat (Section Sciences Expérimentales) | Discipline : Physique

Exercice 1 : Charge d’un condensateur à courant constant (Niveau : Facile)

Un groupe d’élèves réalise un montage expérimental permettant de charger un condensateur de

capacité C inconnue à l’aide d’un générateur idéal de courant. Ce dernier délivre un courant électrique

d’intensité constante I0 = 20 μA. Un système d’acquisition de données relié à un ordinateur permet

de suivre l’évolution de la tension uC (t) aux bornes du condensateur en fonction du temps.

I0uG(t)

K

C uC (t)

Fig. 1a : Schéma du montage de charge

1) a- Rappeler la description sommaire d’un condensateur plan et définir sa capacité C.

b- En se référant au schéma de la Fig. 1a, donner la relation liant la charge électrique q(t)

portée par l’armature positive du condensateur, l’intensité I0 et la date t.

2) a- Établir l’expression de la tension uC (t) aux bornes du condensateur en fonction de I0, C et

t.

b- Justifier théoriquement la forme linéaire de la courbe uC = f (t) représentée sur la Fig. 1b.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

t (s)

uC (V)

Fig. 1b : Évolution de la tension uC (t) en fonction du temps

3) a- En exploitant le graphe de la Fig. 1b, déterminer la valeur numérique du coefficient directeur

(pente) de la droite uC = f (t).

b- En déduire la valeur de la capacité C du condensateur exprimée en microfarads (μF).

4) a- Calculer l’énergie électrique EC emmagasinée par le condensateur à la date t = 5 s.

b- Préciser sous quelle forme cette énergie est stockée au sein du condensateur.

1

Exercice 2 : Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension (Niveau :

Moyen)

On réalise un circuit électrique comportant en série un générateur idéal de tension continue de

force électromotrice E, un résistor de résistance R = 1 kΩ, un condensateur de capacité C initialement

neutre et un interrupteur K. À l’instant t = 0 s, on ferme l’interrupteur K.

E

K

R

uR(t)

C uC (t)

Voie Y1

Masse

Fig. 2a : Schéma du circuit d’étude d’un dipôle RC

1) a- En appliquant la loi des mailles, établir l’équation différentielle régissant l’évolution de la

tension uC (t) aux bornes du condensateur pendant la phase de charge.

b- Montrer que cette équation différentielle peut s’écrire sous la forme :

duC

dt

+

1

τ

uC (t) =

E

τ

où τ est la constante de temps du dipôle RC dont on donnera l’expression en fonction de R

et C.

2) a- Montrer par vérification directe que la fonction uC (t) = E

(

1 − e

−

t

τ

)

est solution de cette

équation différentielle en satisfaisant aux conditions initiales.

b- Déduire l’expression de l’intensité du courant instantané i(t) traversant le circuit en fonction

de E, R, t et τ .

10 20 30 40 50

1

2

3

4

5

6

3, 78 V

t (ms)

uC (V)

Fig. 2b : Courbe de charge uC (t) et sa tangente à l’origine

3) a- Déterminer graphiquement, à partir de la Fig. 2b, la valeur de la force électromotrice E du

générateur.

b- Déterminer la constante de temps τ du dipôle RC en utilisant la méthode de la tangente à

l’origine.

c- Retrouver la valeur de τ en appliquant la méthode dite des « 63% ».

4) a- Calculer la valeur de la capacité C du condensateur.

b- Calculer l’intensité maximale Imax du courant de charge à l’instant t = 0 s.

2

Exercice 3 : Décharge d’un condensateur et bilan énergétique (Niveau :

Difficile)

Un condensateur de capacité C = 47 μF est préalablement chargé sous une tension continue

E = 10 V. À l’instant t = 0 s, on le déconnecte du générateur et on le relie aux bornes d’un résistor

de résistance R2 inconnue. Un système d’acquisition enregistre les valeurs de uC (t) au cours de la

décharge et calcule automatiquement la grandeur ln(uC ).

C uC (t) R2uR2(t)

Fig. 3a : Schéma du circuit de décharge

1) a- Établir l’équation différentielle régissant la tension uC (t) au cours de la décharge.

b- Sachant que la solution générale est de la forme uC (t) = E · e

−

t

τ ′

, exprimer la constante de

temps τ

′

en fonction de R2 et C.

2) a- Montrer que la fonction ln(uC ) dépend du temps t selon une relation affine du type ln(uC ) =

a · t + b, où l’on exprimera les constantes a et b en fonction de E et τ

′

.

b- En exploitant la droite expérimentalement obtenue sur la Fig. 3b, déterminer la valeur

numérique de la pente a (exprimée en s

−1

) et en déduire la valeur de la constante de temps

τ

′

du circuit.

5 10 15 20 25

0.5

1

1.5

2

2.5

t (ms)

ln(uC )

Fig. 3b : Évolution de ln(uC ) en fonction du temps t (ms)

3) a- Déduire de la valeur de τ

′

la valeur de la résistance R2 du résistor.

b- Calculer l’énergie électrique initiale EC (0) emmagasinée par le condensateur à l’instant t =

0 s.

4) a- Établir l’expression de l’énergie thermique EJ (t) dissipée par effet Joule dans le résistor R2

entre l’instant t = 0 s et une date t quelconque.

b- Calculer la valeur de l’énergie EJ dissipée à la date t = τ

′

. Quel pourcentage de l’énergie

initiale cela représente-t-il ?

3

Exercice 4 : Réponse à une tension créneau et application au flash (Niveau :

Bac / Synthèse)

Un générateur de signaux basse fréquence (GBF) délivre une tension périodique en créneau uG(t)

oscillant entre 0 V et Umax = 12 V, avec une période T = 40 ms. Ce générateur alimente un dipôle RC

composé d’un résistor de résistance R = 100 Ω et d’un condensateur de capacité C. Un oscilloscope

numérique affiche simultanément uG(t) sur la voie Y1 et la tension uC (t) sur la voie Y2.

uG(t)

R

C uC (t)

Voie Y1

Voie Y2

Fig. 4a : Circuit alimenté par une tension en créneau

Partie A : Analyse des oscillogrammes

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

2

4

6

8

10

12

Courbes de l’oscilloscope

t (ms)

u

(V)

Fig. 4b : Oscillogrammes de uG(t) et de uC (t)

1) a- Identifier, en le justifiant soigneusement, la courbe correspondant à uG(t) et celle correspon-

dant à uC (t).

b- Préciser la valeur de la demi-période

T

2

du signal. Vérifier qu’elle est suffisante pour assurer

la charge complète du condensateur.

2) a- Déterminer graphiquement la constante de temps τ du dipôle RC lors de la phase de charge.

b- En déduire la valeur exacte de la capacité C du condensateur.

Partie B : Application au fonctionnement du flash d’un appareil photo

Le condensateur de capacité C étudié précédemment est utilisé dans le circuit électronique du

flash d’un appareil photo. Une fois chargé sous la tension Umax = 12 V, il se décharge très rapidement

dans une lampe flash modélisée par un résistor de faible résistance r = 2 Ω.

1) a- Calculer la durée efficace de la décharge ∆t = 5 τ

′

à travers la lampe du flash.

b- Calculer l’énergie électrique maximale Emax emmagasinée par le condensateur avant le dé-

clenchement du flash.

2) a- Calculer la puissance moyenne Pmoy reçue par la lampe au cours du flash.

b- Expliquer l’intérêt pratique de stocker l’énergie dans un condensateur puis de la restituer

rapidement, par rapport à une alimentation directe de la lampe par une pile.

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