Ocillations électriques libres Amorties
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Prof: Med Dhafer Bahroun
Classe Bac Math
Oscillations électriques
Libres Amorties
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I- Production des oscillations électriques libres amorties
1/ Présentation de l'oscillateur (circuit (R+r , L , C)) :
On considère un circuit électrique (R+r , L , C) série, comportant :
ä une bobine, réelle, d'inductance L et de résistance interne r ;
ä un résistor de résistance R variable ;
ä un condensateur, de capacité C, initialement chargé : Q(0) = Q
max
.
a- Dispositif expérimental :
b- Expérience
* Commutateur en position (1) : le
condensateur se charge. Sa charge
maximale Q
max
= C·E.
* Commutateur en position (2) : le
condensateur va se décharger dans le dipôle
(R+r , L).
ä Sur la voie Y
A
de l'oscilloscope, on visualise l'évolution de la tension u
c
(t) = q(t)/C aux bornes du
condensateur.
ä Sur la voie Y
B
de l'oscilloscope, on visualise l'évolution de la tension u
R
(t) = R·i(t) aux bornes du
résistor.
2/ Les courbes de u
c
(t) et de u
R
(t) : (R+r) faible
Avec RC constante positive
3/ Interprétation de l'allure de u
c
(t) et u
R
(t)
ä À t = 0 s, le condensateur est complètement chargé positivement.
ä Juste après la fermeture du circuit, la charge q(t) décroît et i(t) = dq(t)/dt < 0.
ä Lorsque u
c
= 0 V (rupture du courant), l'intensité du courant, en valeur absolue, est maximale,
puis s'annule progressivement à cause du phénomène d'auto-induction. Ce courant
d'auto-induction charge le condensateur négativement. Lorsque i = 0 A, le condensateur est
complètement chargé négativement, il se décharge de nouveau… D'où la naissance des
oscillations : la tension u
c
aux bornes du condensateur varie (oscille) librement autour de u
c
= 0.
Ces oscillations sont amorties car l'amplitude (valeur maximale) de u
c
diminue au cours du
temps.
ä La décharge d'un condensateur à travers un dipôle (R+r , L) est oscillante (charge et décharge).
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ä Le circuit de décharge constitue un oscillateur libre amorti.
Les oscillations de q(t) et de i(t) : analyse sur une demi pseudo-période
ä Les oscillations de la charge q(t) et de l'intensité i(t) ne peuvent pas être périodiques, à cause de
la diminution de l'amplitude. Elles sont dites pseudo-périodiques de pseudo-période T.
t ∈ [0 , T/4] t = T/4 t ∈ [T/4 , T/2]
u
c
> 0 ; q > 0 ; i = dq/dt < 0.
Le courant ne passe pas
immédiatement de 0 à I
max
: la
bobine, avec sa f.é.m
d'auto-induction, s'oppose à
cette variation en ralentissant
l'établissement du courant.
u
c
= 0 ; q = 0 ; i = −I
max
.
Le condensateur est
complètement déchargé.
Le condensateur se charge de
nouveau et la bobine s'oppose à
la rupture du courant à cause de
sa f.é.m d'auto-induction, qui
donne un courant qui circule
dans le même sens (i < 0). q =
q
1
< q
0
: le condensateur est
complètement chargé, |q| <
q
max
.
4/ Conclusion :
ä La bobine s'oppose à l'augmentation et à l'annulation de l'intensité i(t) du courant électrique sur
des intervalles de temps successifs égaux à T/4.
ä La dissipation de l'énergie par effet Joule dans la résistance totale du circuit explique
l'amortissement observé : il se produit des oscillations amorties des grandeurs oscillantes q(t)
et i(t).
ä Ces oscillations sont dites (qualifiées) libres et amorties :
❖ libres : signifie que le circuit est abandonné à lui-même (le générateur est hors circuit).
❖ amortie : l'amplitude des oscillations décroît au cours du temps à cause de la résistance
du circuit qui dissipe de l'énergie par effet Joule.
II- Différents régimes d'oscillations
Influence de la résistance totale R
T
= R + r du circuit sur les oscillations :
1/ Régime pseudo-périodique :
ä Il est obtenu pour des amortissements R
T
faibles ( R
1
< R
2
< R
3
).
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* T est appelé pseudo-période.
* La charge q(t) effectue quelques oscillations avant de s'annuler (de revenir à son état
d'équilibre q = 0).
2/ Régime apériodique critique :
ä Il est obtenu pour une valeur particulière de R
T
= R
4
> R
3
.
Cette résistance R
4
appelée résistance critique,
notée R
C
= 2√(L/C) (hors programme).
* La charge s'annule rapidement sans
effectuer aucune oscillation.
* Retour le plus rapide vers la position
d'équilibre (q = 0 C).
3/ Régime apériodique :
ä Il est obtenu pour des amortissements élevés :
* La charge s'annule rapidement sans
effectuer aucune oscillation.
Conclusion :
ä Lorsque la valeur de la résistance R augmente, les oscillations deviennent de plus en plus
amorties et passent d'un régime d'oscillations appelé régime pseudo-périodique pour R
faible à un régime appelé régime apériodique pour R très grande.
ä La frontière entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique est appelée régime
critique ; il correspond au régime apériodique ayant la résistance R la plus faible.
III- Étude théorique :
1/ Les équations différentielles :
a- L'équation différentielle régissant l'évolution de la charge q(t) d'un oscillateur
électrique libre et amorti :
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D'après la loi des mailles :
Avec i = dq/dt et u
c
= q/C :
En divisant par L :
b- L'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u
c
(t) :
Comme u
c
= q/C (C constante), on peut diviser l'équation précédente par C :
c- L'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u
R
(t) :
On dérive la loi des mailles, puis on multiplie par R/L (avec u
R
= R·i) :
d- Déduisons l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension u
b
(t) :
La bobine impose u
b
= L·di/dt + r·i. L'intensité i(t) vérifie l'équation obtenue en dérivant la loi des
mailles :
Comme u
b
est une combinaison linéaire de i et de sa dérivée, il vérifie la même équation différentielle
(après division par L) :
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IV- Étude énergétique :
1/ Énergie électromagnétique de l'oscillateur (R+r , L , C) à un instant t
ä Énergie électrique emmagasinée par le condensateur :
ä Énergie magnétique emmagasinée par la bobine :
ä Énergie électromagnétique :
2/ La non conservation de l'énergie électromagnétique de l'oscillateur (R+r , L ,
C) :
D'après la loi des mailles :
Signification physique : la relation dE/dt = −(R+r)·i² signifie qu'à tout instant t, la perte d'énergie
est égale à la puissance électrique instantanée transformée en chaleur par la résistance totale ( P
th
= (R+r)·i² ).
ä dE/dt ≤ 0 ⇒ l'énergie E ne se conserve pas ; dE/dt < 0 ⇒ E décroît au cours du temps.
ä Entre t = 0 et t = T
E
= T/2 (i = 0 aux deux instants, donc E
L
= 0) :
Variation de l'énergie : E
e
(t) en bleu, E
L
(t) en rouge (pointillés), E(t) en vert.
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Conclusion :
ä Au cours des oscillations de la charge entre le condensateur et la bobine, il y a transformation
mutuelle des énergies électriques et magnétiques : lorsque l'énergie électrique décroît,
l'énergie magnétique croît et inversement.
ä Ces transformations mutuelles ne sont pas intégrales : à chaque transfert de l'énergie du
condensateur vers la bobine et inversement, une partie de l'énergie est transformée par effet
Joule, sous forme de chaleur, dans la résistance totale (R+r) du circuit, jusqu'à dissipation totale
de l'énergie de l'oscillateur.
ä D'où la non conservation de l'énergie totale du système : cela est dû à la présence de
l'amortisseur (résistance) dans le circuit.